Нестандартні підходи роз'язування рівнянь

Міністерство освіти і науки України

НВК «СЗШ-ліцей» с.Козьови

при Львіському національному університеті імені Івана Франка

Нестандартні прийоми розв’язування рівнянь

Автор:

Коханець Нестор ярославович

учень 10 фм класу

                                     НВК «СЗШ-ліцей» с.Козьови

                                    при ЛНУ імені Івана Франка

Науковий керівник:

Меклеш Марія Олегівна

учитель математики першої категорії

                                     НВК «СЗШ-ліцей» с.Козьови

                                                                      при ЛНУ імені Івана Франка

                                          Козьова -2013

ТЕЗИ

Нестандартні прийоми розв’язування рівнянь.

          Ляшенко А. Ю. Науковий керівник Овдієнко А. В.

Полтавське територіальне відділення Малої академії наук.

Загальноосвітня школа І –ІІІ ступенів №8 м. Лубен 11 клас

1.     Усе частіше в літературі зустрічаються рівняння, розв’язання яких стандартними способами важке, громіздке, а інколи і неможливе. Тоді можна спробувати використати властивості функцій, які є складовими рівняння.

2.     Необхідність розв'язувати рівняння ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані із знаходженням площ земельних ділянок та з земельними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики.

3.     Якщо область допустимих значень рівняння складається із скінченого числа значень, то для його розв’язування досить перевірити всі ці значення. У тому випадку , коли ОДЗ – порожня множина, то задане рівняння не має коренів.

4.     Використовуючи властивості монотонності функцій,  підбираємо один чи кілька коренів рівняння, доводимо, що інших коренів немає, при цьому використовуючи теореми про корені рівнянь.

5.     Деякі рівняння можна розв’язати за допомогою оцінки лівої та правої частин рівняння.

6.     Під час розв'язування ірраціональних рівнянь іноді зустрічаються вирази, що нагадують тригонометричні тотожності. У таких випадках ефективно працює тригонометрична підстановка.

7.     Маючи чітко і точно накреслений графік звичайної параболи  у = х² , можна за допомогою циркуля і лінійки розв’язувати графічно рівняння  четвертої степені.

     8.  Дуже корисним є під час розв’язування деяких тригонометричних 

     рівнянь частіше використовувати одиничне коло.

9.     Рівняння, в яких потрібно вияснити, чи має воно розв’язок, якщо     

    так, то скільки їх, використовуються похідні, за допомогою яких   

     знаходять екстремальні значень функції або  їх області значень.

10.                       Для розв’язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля,  

    використовують формулу відстані між двома точками координатної          

    прямої.

     11.Відсутність чіткого уявлення про рівносильність рівнянь  приводить до   

         загублених коренів в процесі розв'язання рівнянь, або до одержання

         сторонніх коренів. Часто ліва і права частина рівняння множиться на

         спільний множник, що містить змінну, і якщо не врахувати при цьому ,   

         що коли цей множник в області допустимих значень  змінної  

         перетворюється в нуль , то таке множення приводить до загублених  

         коренів.

ЗМІСТ

ВСТУП _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5

РОЗДІЛ 1  Рівняння - ключ для розгадки історичних таємниць   _ _ 6

РОЗДІЛ 2 Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь  ­­­_ _ _ _ _ _  8

2.1.  Використання області визначення та області значень функцій

2.1.1. Скінченна область допустимих значень  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9

2.1.2. Використання властивості монотонності функцій  _ _ _ _  9

          2.1.3. Використання обмеженості функції. Оцінка лівої і правої  

                   частин рівнянь  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  11

2.1.4. Використання властивостей взаємно обернених функцій  13
2.2. Ведення параметра  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  14

2.3. Допомагає геометрія _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15

2.4. Допомагає тригонометрія  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   16

2.5.  Графічне розв’язання рівняння четвертої степені  _ _ _ _ _ _ _ _ _ 17

2.6.  Про деякі тригонометричні рівняння _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 18

                       2.7. Застосування похідних до розв’язування рівнянь _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  19

          2.8. Про деякі цікаві рівняння з нескінченним числом квадратних  

                радикалів _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 21

2.9. Розв’язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля  _ _  22

РОЗДІЛ 3. Характерні помилки, що допускаються при розв'язуванні рівнянь  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 25

Висновок  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 28

Список використаних джерел  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 30

Вступ

Відомо, що вздовж багатьох років алгебру розглядали як науку про рівняння і способи їх розв’язування. Велике значення рівнянь підкреслював А. Ейнштейн. Він сказав: „ Мені доводилось ділити свій час між політикою і рівнянням. Проте рівняння, на мій погляд набагато важливіші, тому що політика існує тільки для даного часу, а рівняння будуть існувати вічно ”.        

Готуючись до олімпіад з математики, а зараз до зовнішнього незалежного оцінювання я зустрівся зі значним обсягом рівнянь, які потрібно виконати за обмежений проміжок часу. Серед них часто трапляються такі, якими перевіряються у нас, учнів, не стільки технічні навички, скільки уважність, уміння знайти найкоротший шлях розв’язання, застосовувати нетрадиційний, оригінальний метод тощо. Тому сьогодні  дуже важливо оволодіти різноманітними можливостями правильного оформлення алгоритму розв’язування рівнянь, який би не містив громіздких викладень, але за допомогою їх  ми б змогли продемонструвати яскраві, ефективні, а інколи і  несподівані застосування теоретичного матеріалу. Такі прийоми я намагався знайти в додатковій літературі , в Інтернеті, а потім , узагальнивши їх, застосував в інших умовах до розв’язування різноманітних рівнянь . Ці прийоми тісно пов’язані з матеріалом , що вивчається в школі, але, крім того, їх нестандартне розв’язання привчає нас, школярів, не задовольнятися шаблонами, алгоритмами, а вдумливо підходити до пошуку оригінальних розв’язань. Так була написана дана науково дослідна робота.    

           

РОЗДІЛ 1

        

1.1. Рівняння - ключ для розгадки історичних таємниць.

         Необхідність розв'язувати рівняння, як першого степеня, так і другого, ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані із знаходженням площ земельних ділянок та з земельними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати біля 2000 років до н.е. вавілоняни. Застосовуючи сучасні алгебраїчні записи, можна сказати, що і в їх клинописних текстах зустрічаються, окрім неповних , і такі , наприклад, повні квадратні рівняння: , .

         Правило розв'язування цих рівнянь викладене у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасними, хоч невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені до сьогодні клинописні тексти приводять лиш до задач з розв’язками, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок відносно того, яким чином вони були знайдені.

         Не дивлячись на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутнє поняття від'ємного числа і загальні методи розв'язування квадратних рівнянь.

         Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті „ Аріабхаттіам ” , складеному 499р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттой .

Інший індійський учений, Брахмагупта (VIIст.), виклав загальний розв'язок правила розв'язування квадратних рівнянь, зведених до єдиної канонічної форми :

         В алгебраїчному трактаті ал-Хорезмі дається навіть класифікація лінійних і квадратних рівнянь.

          Він також подає способи розв'язання вказаних рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр і ал-мухабала. Його розв'язки, звичайно, не співпадають повністю з нашими. І ще потрібно також відмітити, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду ал-Хорезмі, як всі математики до XVIII ст. , не враховували нульового розв'язку, мабуть , тому, що в конкретних практичних задачах воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь ал-Хорезмі на частинних числових прикладах пояснює правила розв'язання, а потім їх геометричне доведення.

                  Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду  , при все можливих комбінаціях знаків коефіцієнтів b,с було сформульовано в Європі лише в 1544 р. М.Штифелем.

         Вивід формули розв'язування квадратних рівнянь в загальному вигляді є у Вієта, хоч Вієт признавав тільки додатні корені. Італійські математики Тартал'я, Кардана, Бомбеллі серед перших в XVI ст. враховують, крім додатніх , і від'ємні корені. Лише в XVII ст. дякуючи працям Жирара, Декарта, Ньютона і інших учених спосіб розв'язання квадратних та інших рівнянь набуває сучасний вигляд.

РОЗДІЛ 2.

Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь.

            Усе частіше  в літературі зустрічаються рівняння, розв'язування яких стандартними способами важке, громіздке або неможливе. Тоді можна спробувати використовувати властивості функцій. Іноді такий підхід приводить до більш простого і раціонального розв'язання .

         Розглянемо рівняння . Його можна розв’язати стандартним способом – зведенням до квадратного рівняння. Але не важко помітити, що друге рівняння допускає нестандартне розв’язування: його корені  - очевидні. А оскільки будь – яке квадратне рівняння має не більше двох дійсних коренів, то на цьому його розв’язування закінчується.

         Або звернемось до рівняння  до нього теж можна застосувати згаданий прийом, попередньо додавши до обох частин рівняння 3, одержимо  або . Звідси,

Отож, розглянемо такі властивості функцій, що входять в рівняння як його складові, які б привели до нестандартного їх розв’язування  та продемонструємо їх  практичне застосування.

 2.1. Використання області визначення та області значень функцій .

2.1.1. Скінченна область допустимих значень.

Якщо область допустимих значень ( ОДЗ )рівняння складається із скінченого числа значень, то для розв’язування досить перевірити всі ці значення. У тому випадку, коли ОДЗ – порожня множина ( не містить жодного числа ), ми можемо зразу дати відповідь, що задане рівняння не має коренів. Тому перед безпосереднім розв’язанням рівняння, потрібно його проаналізувати, прослідкувати за поведінкою окремих членів рівняння для допустимих значень невідомої змінної.

         Наприклад, якщо потрібно розв’язати рівняння , то його ОДЗ задається системоюяка не має розв’язків.

Тобто, ОДЗ заданого рівняння не містить жодного числа, і тому це рівняння не має коренів.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

ОДЗ:  

Область допустимих значень для змінної х складається тільки з числа 2. Легко перевірити, що х = 2 – корінь рівняння.

Перевірка

 

 Отже, х = 2 – корінь рівняння.

2.1.2. Використання властивості монотонності функцій.

         Вданому випадку спрацьовує така схема розв'язування: підбираємо один чи кілька коренів рівняння, доводимо, що інших коренів немає, при цьому використовуючи теореми про корені рівнянь , а саме :

Теорема 1. Якщо в рівнянні функція  зростає ( спадає) на деякому проміжку, то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

Теорема 2. Якщо в рівнянні  функція  зростає на деякому проміжку, а функція  спадає на цьому самому проміжку ( або навпаки ), то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

         Справді , якщо функція  монотонна, то таке рівняння має лише один корінь, бо для монотонної функції нерівним значенням аргументу відповідають нерівні значення функції. Графічно це означає, що пряма лінія, паралельна осі абсцис( графік функції - константи), не може перетинати графік монотонної функції більше, ніж в одній точці.

         Якщо  - кусково – монотонна функція, то рівняння може мати не тільки більш як один корінь, але навіть нескінченне їх число,  коли  має нескінченне число проміжків монотонності. Проте їх не може бути більше, ніж число проміжків монотонності кусково – монотонної функції.

Приклад 1. Розв'язати рівняння:  .

ОДЗ:.Функція f(x) =  зростаюча і коли х = 243, набуває найменшого значення (243) = 3. Функція  спадна на ОДЗ і, коли х = 243, досягає найбільшого значення .

, тобто х = 243 – єдиний корінь.

         Тим часом поняття монотонності функції можна використати, розглядаючи питання про рівносильність широкого класу рівнянь. Так, на практиці, щоб дістати розв’язки рівнянь, нерідко доводиться брати одну й ту саму функцію від обох частин; порівняння значень складних функції , в яких зовнішня функція одна й та сама, - замінювати порівнянням значень внутрішніх функцій, тобто виконувати перехід:, скориставшись відомою теоремою : „ Рівняння  і  рівносильні, якщо їх області визначення однакові, а функція  монотонна. ” Проілюструємо застосування даної теореми на прикладі.

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Запишемо це рівняння в такому вигляді:.

Оскільки областю визначення рівняння є множина всіх дійсних чисел і зовнішня функція  монотонна, то воно буде рівносильним рівнянню  , корені якого .

2.1.3. Використання обмеженості функції. Оцінка лівої і правої частин рівнянь.

         Деякі рівняння можна розв’язати за допомогою оцінки лівої та правої частин рівняння. Даний  прийом базується на такій властивості: нехай потрібно розв’язати рівняння виду  f(x) = φ(x) і з’ясувалося, що  то рівність між лівою і правою частинами можлива тоді і тільки тоді, коли одночасно дорівнюють а. Тобто

якщо  то .

Приклад 1. Розв’язати рівняння

 В даному рівнянні множина значень функції, що стоїть у лівій частині,  множина невід'ємних чисел, а множина значень функції, що стоїть в правій частині, - множина   не додатних чисел: = -

Тому це рівняння рівносильне системі

Звідси одержуємо єдиний корінь рівняння х = 1.

         Аналогічно розв’язується рівняння виду

в якому всі функції - доданки невід’ємні. Очевидно, що в цьому випадку рівністьобов’язково буде виконуватись, лише коли всі функції – доданки дорівнюють нулю. Тобто , сума кількох невід’ємних функцій дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі функції одночасно дорівнюють нулю. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

 ОДЗ: .

.

Маємо:     

 Звідси,  х = 0.

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Задане рівняння рівносильне системі

З третього рівняння одержуємо  х = 3, що задовольняє і всій системі.

 Отже, задане рівняння має єдиний корінь х = 3.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Множина значень функції є інтервал,

 а функції  є інтервал .

Оскільки спільні значення відсутні , то рівняння розв’язку не має.

2.1.4. Використання властивостей взаємнообернених функцій.

          Розглянемо такі властивості взаємнообернених функцій :

Властивість 1.Якщо та взаємнообернені функції, то їх графіки симетричні відносно прямої y = х.

Властивість 2. Якщо графіки взаємнообернених функцій  та перетинаються, то точки їх перетину лежать на прямій y = х.

Властивість 3. Якщо та взаємно обернені функції, то рівняння  рівносильне рівнянню або рівнянню g(x) = x.

  Наприклад. Розв'язати рівняння:                                                                                                                      

Покладемо , тоді . Функції взаємно обернені. За властивістю 3, рівняння  рівносильне рівнянню ;       ,

Яке, у свою чергу,  рівносильне рівнянню

.

Коренями останнього рівняння будуть числа 1,  , .

Ці самі корені матиме і початкове рівняння .

2.2. Ведення параметра.

         Цей спосіб полягає в тому, що сталу, яка входить до рівняння, сприймають як параметр і розв'язують рівняння відносно параметра.

Розглянемо рівняння .

Нехай .

Матимемо рівняння

Розв'яжемо його відносно а:                                                

                                                

                                               

Один з коренів рівняння уже знайдено: х = .

 Два інших знайдемо з рівняння .

Отже, розв'язками рівняння будуть числа: ;  ; .

2.3. Допомагає геометрія.

         Іноді доданки, що входять до складу рівняння, нагадують формули, якими записуються такі теореми, як теорема Піфагора, теорема косинусів тощо. Також часто використовується така важлива властивість скалярного добутку векторів: , (, якщо ||).

Приклад 1. Розглянемо рівняння: .

Воно не має коренів, коли х≤0, оскільки значення лівої частини рівняння не менше ніж 2, а у правої частини стоїть число більше, ніж 2. Будемо шукати корені цього рівняння на множині додатних чисел. Тоді перший доданок можна розглядати, як довжину гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами 1 і х, а другий доданок – як довжину сторони трикутника, що лежить напроти кута  з прилеглими до нього сторонами 1 і х. Побудуємо конструкцію, що відповідає лівій частині рівняння.

Нехай АО=ОВ=1, ОМ = х, =, ,

Тоді АМ= МВ = .

З нерівності трикутника випливає, що АМ+МВАВ. Рівність досягається у випадку, коли точка М належить відрізку АВ. Оскільки

АВ =  , то ОМ = ОК. В рівнобедреному  . Тоді в трикутнику АОК ОК=АО tg=  Отже,  х =

2.4. Допомагає тригонометрія.

         Під час розв'язування ірраціональних рівнянь іноді зустрічаються вирази, що нагадують тригонометричні тотожності. У таких випадках ефективно працює тригонометрична підстановка.

         Наприклад, у рівнянні  відзначивши, що  покладемо,   де ;.   

Отримуємо рівняння  або  .

  Розкриваючи модуль при ;, отримаємо sin,

 ,

,

    

  Виберемо лише ті значення , що задовольняють умову ;

. 

Отже,

  Обчислимо значення тригонометричних функцій за формулами:

.

 Матимемо

 , .

2.5.  Графічне розв’язання рівняння четвертої степені.

Маючи чітко і точно накреслений графік звичайної параболи  у = х² , можна за допомогою циркуля і лінійки розв’язувати графічно рівняння четвертої степені. Щоб пояснити , як це робиться, сформулюємо слідуючи дві леми, якими потім скористаємось.

Л е м а 1. Рівняння четвертої степені  

за допомогою заміни невідомого , де , зводиться до рівняння , що не містить куба невідомого, тобто до рівняння виду :

                                .                                                               (1)

         Л е м а 2. Рівняння  рівносильне системі рівнянь

 де .

Тепер зрозуміло, що для знаходження коренів рівняння  (1) потрібно    

знайти абсциси точок перетину параболи   і кола, що виражається  рівнянням  тобто кола з центром і радіусом . Якщо число від’ємне, а також якщо , але коло не перетинає параболу, то рівняння не має розв’язків. В противному разі рівняння має від 1 до 4 коренів, в залежності від числа точок перетину. Це і є графічний спосіб розв’язання рівняння четвертої степені.

Розглянемо приклад такого рівняння.

2.6. Про деякі тригонометричні рівняння

Дуже корисним під час розв’язування деяких тригонометричних 

                    рівнянь частіше використовувати одиничне коло. Мова йде не тільки про   

                    рівняння

,

                    але й про рівняння виду

                                                                                    (1)

Ці рівняння можна розв’язати багатьма способами. Але розв’язок цього рівняння  за допомогою одиничного кола – один з способів, що дозволяє знайти відповідь усно. Кожному з рівнянь ( 1) на інтервалі  задовольняє два з чотирьох чисел :що відповідають точкам  одиничного кола. Ці числа знаходять усною перевіркою, потім записують загальний розв’язок. Інших розв’язків немає,так як для всякої іншої точки , відмінної від указаних ,  і  по модулю рівні довжинам катетів трикутника, довжина гіпотенузи якого дорівнює 1, і за властивістю сторін ні одна з рівностей (1) неможливе.

Наприклад, рівнянню  на проміжку  задовольняють числа  і 0.

Відповідь. .

За допомогою цього методу можуть бути розв’язані і більш складніші рівняння, наприклад,

де .

2.7      Застосування похідних до розв’язування рівнянь

Розглянемо декілька типів рівнянь, в яких використовуються похідні. Серед них рівняння, в яких потрібно вияснити, чи має розв’язок те чи інше рівняння. Ці рівняння зводяться до знаходження екстремальних значень функції або до знаходження їх областей значень.

Приклад 1. При якому значенні  має розв’язки рівняння   

                                    .

Розв’язання. Область визначення даного рівняння – інтервал  . Розглянемо на ній функцію f :

Тоді на інтервалі  

 ,

так що 8/3 єдина критична точка функції f , яка є дотого ж точкою максимум, оскільки f (2) = 2,  f (4) = , f (8/3) = . Отже, f  приймає найбільше значення при х = 8/3, а найменше значення – при х = 4. Так як функція f неперервна, то її область значень є інтервал  між її найбільшим і найменшим значенням, тобто дане рівняння має розв’язок , якщо .

Відповідь.

Приклад 2. Скільки розв’язків має рівняння ?

Розв’язання.  Область визначення даного рівняння – інтервал . Розглянемо на цьому інтервалі функцію f

Тоді .

                       

Враховуючи область визначення, маємо . Таким чином, функція f  зростаюча, так що дане рівняння не може мати більше одного розв’язку.

    З іншого боку, взявши  будь – яке велике значення х, наприклад,

х = 200, маємо  так що f  як неперервна функція приймає всі значення між і , в тому числі і значення 4. Відповідь.  Рівняння має лише 1 корінь.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: . Побудувавши графіки функцій  і  ми помітили б , що рівняння має два корені. Безпосереднім підбором і перевіркою, знаходимо , що коренями рівняння є х = 0 і х = 2. За допомогою похідної можна довести, що інших коренів немає.

 Розглянемо функцію  і покажемо що в неї  лише одна критична точка, тобто ця функція має лише 2 інтервали ( зростання і спадання) , отже має 2 корені, які ми вже знайшли.

 існує на всій області визначення()

Відповідь. 

2.8     Про деякі цікаві рівняння з нескінченним числом квадратних радикалів.

В шкільному курсі алгебри і початків аналізу проходить знайомство з теоремою Вейєрштраса: якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має границю.

Розглянемо як дана теорема застосовується до розв’язування рівнянь з нескінченним числом квадратних коренів.

 Приклад 1. Розв’язати рівняння  

Піднесемо до квадрату обидві частини рівності :

Так як другий доданок співпадає з лівою частиною початкового рівняння, то

  Відповідь. 42

Приклад 2. Розв’язати рівняння  .

Піднесемо в квадрат обидві частини рівності, одержимо

Ще раз підносимо до квадрата       

Оскільки другий доданок дорівнює 3, знайдемо

Можна також чергувати корені різного порядку. Наведемо приклади такого роду.

Приклад 3.

                   

2.9. Розв’язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля

         Для розв’язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше використовуються такі методи: за означенням модуля, піднесенням до квадрату лівої і правої частини, метод інтервалів. Але можна розв’язувати ці рівняння, використовуючи формулу відстані між двома точками координатної прямої.

         Розглянемо цей прийом на прикладі 

На числовій прямій потрібно знайти точки, сума відстаней яких від точок

х = - 5 і х = 8 дорівнює 16. Позначимо через у відстань, на якій знаходиться точка зліва від точки х = 5, одержимо допоміжне рівняння у + (у + 13) = 16 або у = 1,5, тобто х₁ = - 6,5.

                        

         В середині  інтервалу  точок, що задовольняють рівняння, немає. Справа від точки х = 8 на відстані, що дорівнює 1,5, знаходиться друга точка, що задовольняє рівняння : х₂ = 9,5.

Відповідь. 

         Використовуючи числову пряму можна встановити, що рівняння виду , де , якщо має 2 корені, причому ці корені знаходяться поза інтервалом . Якщо рівняння має нескінченну множину коренів, причому розв’язком є інтервал . Якщо  рівняння коренів немає.

         Розглянемо приклади розв’язання рівнянь, що містять різницю модулів.

                                                                      .

На числовій прямій потрібно знайти різницю відстаней яких до точок х = - 4 і х = 2 дорівнює 5. Так як відстань між точками х = - 4 і х = 2 дорівнює 6, то шукана точка знаходиться в середині інтервалу .

                           

 Позначимо через у відстань від шуканої точки до точки х = - 4, одержимо

у – ( 6 - у) = 5, або у = 5,5, тобто х = 1,5.

Відповідь. 

         Порівнюючи відстань між точками числової прямої, легко встановити, що рівняння виду має один розв’язок, якщо ; в цьому випадку шукана точка знаходиться внутрі інтервалу . Якщо  рівняння має нескінченну множину коренів. Якщо  рівняння коренів не має.

         В тих випадках, коли коефіцієнти при х відмінні від 1, їх можна винести за знак модуля, а потім розв’язувати рівняння  прийомом, поданим вище. Наприклад, рівняння  запишемо у вигляді       

         На числовій прямій потрібно знайти точки,  відстань яких від точки

х = 3 були в 4 рази менші, ніж від х = 5.

1)    Нехай шукана точка знаходиться поза інтервалом  зліва від точки

х = 3 на відстані у , тоді маємо рівняння 4у = у + 2,  у =2/3, тобто х = .

2)    Нехай шукана точка знаходиться внутрі інтервала  на відстані z від точки 3, тоді маємо рівняння : 4z = 2 – z, звідки  z = 2/5 , а х = .

Поза інтервалом  справа від х = 5 рівняння коренів не має.

Відповідь. 

Отже, розв’язуючи рівняння , що містять змінну під знаком модуля, вже на початковому етапі, склавши допоміжне рівняння,  ми ще до розв’язання рівняння встановлюємо, в яких проміжках потрібно шукати корені і скільки коренів має рівняння.

         Розглянемо ще два такі рівняння :

Приклад 1.

Рівняння можна переписати так :

.

Так як , то розв’язком рівняння є весь інтервал .

Приклад 2. .

Маємо рівняння , яке має 2 корені : .

Відповідь. 

Розділ 3

3. Характерні помилки, що допускаються при розв'язуванні рівнянь.

Як свідчить практика, труднощі, з якими зустрічаються учні та абітурієнти під час розв'язування рівнянь, виникають в першу чергу із-за невміння інтенсивно, зосереджено працювати. Не маючи достатнього досвіду в розв'язуванні рівнянь, вони не вкладаються в відведений час, не встигають проаналізувати всі запропоновані і реалізовані методи розв'язування.

          Відомо, що багато рівнянь допускають декілька різних прийомів розв'язання. Можна дати будь-яке правильне розв'язання. Хоч бажання знайти найбільш короткий і красивий шлях розв'язання вельми природне, відшукання такого шляху в умовах уроку чи під час зовнішнього оцінювання не можливо, тому що це може зайняти багато часу. Тому краще до кінця довести нехай довге, але надійне розв'язування. Крім того поспішність часто приводить до досадних арифметичних помилок, плутаниці знаків, описок і т.п. , що приводить до помилкової відповіді, хоч нерідко хід розв'язання був правильним. Хоча, якщо ви знаєте як розв’язати рівняння коротшим шляхом,і впевнені в його правильності, то чому б не зекономити час.

         Відсутність чіткого уявлення про рівносильність рівнянь часто приводить до загублених коренів в процесі розв'язання рівнянь, або до одержання сторонніх коренів. Часто ліва і права частина рівняння множиться на спільний множник, що містить змінну, але якщо не врахувавши при цьому , що коли цей множник в області допустимих значень (ОДЗ) змінної перетворюється в нуль , то таке множення приводить до загублених коренів. Особливо часто ця помилка зустрічається під час розв'язування тригонометричних рівнянь.

         Головна мета при розв'язуванні ірраціональних рівнянь - це позбутися ірраціональності. Вона досягається двома способами : піднесенням обох частин рівняння до відповідного степеня або заміною. Перший спосіб застосовується частіше, хоча останній часто значно спрощує перетворення.

          Розв'язуючи ірраціональні рівняння, потрібно пам'ятати, що :

а) перевірка одержаних значень для невідомого в загальному випадку являється обов'язковою частиною розв'язку, так як при піднесенні в парну степінь обох частин рівняння можуть з'явитися сторонні корені;

б) в багатьох випадках сторонні корені можуть належати ОДЗ невідомого в початковому рівнянні, тому є помилкою винесення в відповідь усіх розв'язків рівняння, що належать ОДЗ, без їх перевірки. Взагалі кажучи, перевірку здобутих розв'язків потрібно робити при розв'язанні будь-яких рівнянь, якщо це пов'язано з виконанням  складних перетворень. Наприклад, у рівнянні  знаходження ОДЗ цього рівняння пов'язане з розв'язуванням систем ірраціональних нерівностей, тому в даному випадку цього робити не потрібно. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо : . Піднісши ще двічі до квадрату остаточно дістанемо квадратне рівняння  9x² - 64x – 64 = 0, корені якого   , .

Перевіркою встановлюємо, що  - сторонній корінь.

         Під час розв'язання  показникових рівнянь допускаються помилки , які свідчать про недостатні знання правил дій над степенями , властивості показникової функції.

Значне число помилок при розв'язуванні логарифмічних пояснюється нетвердими знаннями властивостей логарифмічної функції, правил логарифмування і потенціювання. Потрібно враховувати, що логарифмування, ділення, множення рівнянь на вирази, що містять  невідомо величину, може привести до звуження ОДЗ і , а це означає до загублених коренів. Виключити сторонні корені можна перевіркою, знайти загублені корені складніше.

         В багатьох немає чіткого уявлення про те, в яких випадках потрібно перевірка  при розв'язуванні рівнянь, а в яких ні. Потрібно пам'ятати, що призначення перевірки - відкинути сторонні корені, які частіше всього проявляються при:

1)скороченні дробів на множники, що містять змінну.

 Наприклад, скоротивши на (х+2) дробову частину рівняння і розв'язуючи його, одержимо х=-2 – це сторонній корінь;

2)взаємне спрощення подібних членів, що містить змінну в знаменнику дробу, під знаком радикалу, чи під знаком логарифма. Наприклад , відкинувши   - і , під час розв'язання рівняння , одержимо , звідки знайдемо , (нуль тут сторонній корінь);

3) піднесення обох частин рівняння в парну степінь: , звідси  чи = 0. Тоді ,  (тут один сторонній корінь);

4) потенціювання обох частин рівняння, наприклад, lgх+lg(x+21)=2, звідси х(х+21)=100 і тоді =4 ,=-25.В даному випадку -25 –сторонній корінь.

         Сторонні корені з'являються при розширенні ОДЗ невідомого, що входить в рівняння. Виявити їх можна перевіркою . Таким чином, процес розв'язання будь-якого рівняння потребує уважного аналізу. Під час переходу до кожного наступного запису рівняння потрібно вияснити, чи рівносильне це нове рівняння попередньому. Якщо ні, то до чого приведе перетворення.

― до появи сторонніх коренів (в цьому випадку в кінці роботи  необхідна перевірка всіх визначених значень х) чи до загубленого кореня ( тоді зразу ж проаналізувати, які корені губляться і включити їх в кінцеву відповідь).

Висновок.

В процесі розв’язування рівнянь ми помітили , що всі вони зводяться кінець кінцем до розв’язання переважно вже за відомими алгоритмами. Опанування цих алгоритмів  є важливим завдання для кожного учня. Філософи навіть стверджують, що нема кращого способу  створити умови для творчої діяльності як бездоганне знання цих алгоритмів. Справді, розв’язання нестандартних рівнянь зводиться , зрештою, до розв’язання відомих опорних рівнянь , які мають формули розв’язання. Але ще в 20 роках минулого  століття  Н. Х. Абель довів, що формули для рівнянь n – ого степеня при n > 5 напевно не можуть бути знайдені.  Хоч він не виключав можливості того, що корені деяких конкретних многочленів  з числовими коефіцієнтами  все таки можна визначити через коефіцієнти. Що пізніше і трапилося. Тому не традиційні прийоми розв’язування рівняння можливо і приведуть  до знаходження нового алгоритму для розв’язування, наприклад, трансцендентно – алгебраїчних рівнянь.

            Ми переконалися, що математика, як і будь-яка інша наука не розвивається сама, всі відкриття в ній роблять люди. Так свій внесок у розвиток вчення про рівняння зробили Евклід, Діофант, аль-Хорезмі, О.Хайям, Ф.Вієт та інші вчені. Ці люди не обмежувалися лише математикою, вони були високо освіченими і всебічно розвиненими, до чого повинна прагнути кожна людина.

ВІДГУК .

У роботі Коханця нестора  „Нестандартні прийоми розв’язування рівнянь” узагальнені та систематизовані відомості про методи розв’язування рівнянь  з одним невідомим  нестандартними прийомами. Розглянуті різні типи таких  рівнянь та методи їх розв’язування з необхідним обґрунтуваннями, побудована чітка і логічна схема розв’язування як рівнянь однотипного характеру, так і рівнянь нестандартних. До кожного типу рівнянь учень підходить творчо, використовуючи різні пошукові методи, з використанням властивостей функцій, що є складовими рівняння.

         Наочно продемонстровано, які помилки зустрічаються найчастіше під час розв’язування раціональних, ірраціональних, логарифмічних, тригонометричних та показникових рівнянь та пояснені причини їх виникнення.

        

Список використаних джерел.

1. Титаренко О.М. Форсований курс шкільної математики. – Харків

„ Торсінг ” – 2003.- 367с.

2. Скороход А. В. Вибрані питання елементарної математики. – Київ „ Вища школа  ” – 1982 – 445 с.

3. Ципкін О. Г.  Довідник з математики для середніх навчальних закладів . –

Київ „ Вища школа ” – 1988 – 415 с.

4. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. - Київ „ Вища школа ” – 2006 – 381с.

5.Нелін Є. П. Алгебра і початки аналізу. – Харків „ Світ дитинства ” – 2006. – 448 с.

5. Егерев В. К. , Зайцев В.В. Сборник задач по математике для поступающих во втузы . – Минск « Высшая школа» - 1990.

6. Иванов О. А.  Практикум по елементарной математике: Алгеброаналитические методы . – Москва « МЦНМО», 2001.

7. Газета «Математика», № 39, № 41 2007 рік